Comment calculer le diamètre de l'arbre sous charge axiale ?

Comment calculer le diamètre de l’arbre sous charge axiale ?

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Dans l’article précédent, nous avons expliqué comment calculer le diamètre de l’arbre sous le moment de torsion et de flexion avec la charge fluctuante. Dans certains cas tels que les arbres d’hélice de navires, il y aura une charge axiale supplémentaire qui agira sur l’arbre en plus des charges de torsion et de flexion. Voyons maintenant comment calculer le diamètre de l’arbre sous charge axiale en plus des charges de torsion et de flexion.

Calculer le diamètre de l’arbre d’hélice sous charge axiale

Comme nous l’avons mentionné ci-dessus, la charge axiale se produira dans les arbres d’hélice des navires et les arbres d’entraînement des engrenages à vis sans fin, alors la contrainte due à la charge axiale doit être ajoutée à la contrainte de flexion (σb).

De l’équation de flexion


M = Moment de flexion
I = Moment d’inertie de l’arbre
??b = Contrainte de flexion
y = Distance du point à l’axe neutre = d/2
E = Module d’élasticité du matériau
R = Rayon de courbure

À partir de là, nous pouvons considérer la partie suivante de l’équation

Pour les arbres pleins

Nous pouvons réécrire l’équation ci-dessus comme suit pour l’arbre plein.

La contrainte due à la charge axiale pour l’arbre plein, nous pouvons écrire comme

La contrainte résultante (de traction ou de compression) pour l’arbre plein, nous pouvons écrire

Où nous avons substitué le M1 valeur donnée ci-dessous

Les arbres soumis à des charges axiales peuvent parfois être des arbres très longs tels que les arbres de transmission et les arbres intermédiaires. Dans le cas d’arbres longs (arbres élancés) soumis à des efforts de compression, un facteur appelé facteur de colonne (α) doit être introduit pour prendre en compte l’effet de colonne.

La contrainte due à la charge de compression,

Le facteur de colonne (α) pour les charges de compression peut être obtenu à partir de la relation suivante


L = Longueur de l’arbre entre les roulements
K = Plus petit rayon de giration

Cette expression est utilisée lorsque le rapport d’élancement (L/K) est inférieur à 115. Lorsque le rapport d’élancement (L/K) est supérieur à 115, alors la valeur du facteur de colonne peut être obtenue à partir de la relation suivante

Formule du facteur de colonne, si le rapport d’élancement (L/K) supérieur à 115 sera


??oui= Limite d’élasticité en compression du matériau de l’arbre
C = Coefficient dans la formule d’Euler en fonction des conditions finales

Voici les différentes valeurs de C en fonction des conditions finales.

valeur C Utilisé pour
1 pour extrémités articulées
2,25 pour extrémités fixes
1.6 pour les extrémités qui sont partiellement retenues comme dans les roulements

Pour les puits sacrés

Semblable à l’arbre plein, la contrainte de flexion de l’équation de flexion sera


k = je / o
o = Diamètre extérieur de l’arbre
je = Inter diamètre de l’arbre

La contrainte due à la charge axiale pour l’arbre creux, nous pouvons écrire comme

La contrainte résultante (de traction ou de compression) pour l’arbre creux, nous pouvons écrire

Où nous avons substitué le M1 valeur donnée ci-dessous

En général, pour un arbre creux soumis à une charge de torsion et de flexion fluctuante, ainsi qu’une charge axiale, les équations pour un moment de torsion équivalent (Te) sera écrit comme

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous charge axiale ?

et moment fléchissant équivalent (Me) avec la charge axiale supplémentaire sera écrit comme

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous charge axiale ?

Nous pouvons également écrire le moment de torsion ci-dessus et les équations de moment de flexion pour les arbres pleins.

Pour un arbre plein, k = 0 et d0 = d.

Lorsque l’arbre ne supporte aucune charge axiale, alors F = 0

lorsque l’arbre supporte une charge de traction axiale, alors α = 1

À partir de la relation ci-dessus, nous pouvons calculer le diamètre de l’arbre si l’arbre est soumis à une charge axiale en plus des moments de flexion et de torsion.

Résolvons un exemple de problème pour calculer le diamètre de l’arbre sous charge axiale en plus des moments de flexion et de torsion.

Exemple de problème pour calculer le diamètre de l’arbre sous charge axiale

Un arbre plein d’hélice de 1,5 mètre de longueur est supporté par le roulement et est soumis à un couple maximum de 500 Nm et un moment de flexion maximum de 1 kN-m. Il est soumis, en même temps, à une charge axiale de 10 kN. Supposons que la charge est appliquée progressivement. La contrainte de cisaillement admissible donnée pour le matériau de l’arbre est de 40 MPa. Calculer le diamètre de l’arbre d’hélice.

Réponse:

Moment de torsion T = 500 Nm = 500 × 103 N mm
Moment fléchissant M = 1 kN-m = 1000 × 103 N mm
Charge axiale F = 10 kN = 10 × 103 N
Contrainte de cisaillement admissible τ = 40MPa = 40 N/mm2
Longueur de l’arbre L =1.5m = 1500mm

Soit d = diamètre de l’arbre porte-hélice (arbre plein)

La charge étant appliquée progressivement, donc à partir du tableau évoqué ici, on trouve que Km = 1,5 ; et Kt = 1,0 (Dans la plupart des cas, ces valeurs seront mentionnées dans le problème lui-même)

On sait que le moment de torsion équivalent pour un arbre creux

Tout d’abord, nous devons calculer le ratio d’élancement.


L = Longueur de l’arbre entre les roulements = 3 mètres = 3000mm
K = Plus petit rayon de giration = √(moment d’inertie de surface/surface de la section transversale)

K = ((π/64)d4/√(π/4)d2 = 0,0625d2 = 0,25d

On substitue la valeur de K, L on obtient α = d / (d-0.0264)

Pour un arbre plein, k = 0 et d0 = d.

De ce qui précède, nous substituons toutes les valeurs que nous avons dans l’équation du moment de torsion équivalente,

Comment calculer le diamètre de l'arbre sous charge axiale ?

La résolution de cette équation ci-dessus avec la méthode d’essais et d’erreurs nous obtiendra la valeur de diamètre approximative de 61 mm.

Pour simplifier ce processus de calcul ci-dessus, nous pouvons trouver le diamètre d’arbre le moins critique en utilisant le T suivante formule utilisée pour l’arbre soumis à des fluctuations, à une torsion et à une flexion ensemble.

À partir de là, nous pouvons Te = 1581139, équivaut à ce qui précède 7.854 × d3

1581139 = 7,854 × d3
3 = 201316,4
d = 58,60 mm

Quel est le diamètre d’arbre le moins critique et choisissez le prochain plus grand diamètre d’arbre parmi les diamètres des arbres standard.

Ce processus doit également être vérifié avec la formule du moment fléchissant et prendre le plus grand diamètre d’arbre parmi les diamètres d’arbre calculés.

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